1.1 Крутильные колебания двухмассовой системы
Сложные схемы конструкций коробок скоростей и коробок подач при расчетах динамических характеристик приводятся к более простым двухмассовым или трехмассовым системам.
Примером простейшей двухмассовой системы может служить гладкий цилиндрический вал с двумя дисками на противоположных концах.
Рис.1. Расчетная схема для определения крутильных колебаний
Диски диаметром D 1 , D 2 и массой т 1 , т 2 имеют моменты инерции масс J 1 =m 1 (D 1 ) 2 /8 и J 2 =m 2 (D 2 ) 2 /8 относительно оси вращения. Диски закреплены на концах вала длиной L , имеющим коэффициент крутильной жесткости с=GI p /L , где G - модуль упругости второго рода материала вала, J p - полярный момент инерции сечения вала. Первоначально вал с дисками был закручен на некоторый угол. В результате закручивания к дискам приложены разнонаправленные упругие моменты М 1 и М 2 .
По длине вала имеется некоторое промежуточное сечение А , называемое узлом колебаний, которое не принимает участия в колебаниях, т.е. это сечение не смещается относительно исходного состояния и расположено на расстояниях l 1 и l 2 от соответствующих дисков. Таким образом, первый диск закрутится относительно сечения А на угол 1 , а второй диск в противоположную сторону на угол 2, так что = 1 + 2 . Если пренебречь трением в подшипниках вала, можно записать уравнения колебаний каждого диска относительно сечения А .
где - коэффициенты крутильной жесткости соответствующих участков вала l 1 и l 2 ;
Полярные моменты инерции сечения соответствующих участков вала.
Так как упругие моменты равны между собой (М 1 =М 2 ) и вал имеет постоянный диаметр по всей длине, то
с 1 =с 2 ;
Если крутильные колебания происходят по синусоидальному закону с амплитудами угловых перемещений Ф 1 и Ф 2 , уравнения изменения углов закручивания дисков во времени будет иметь вид
1 =Ф 1 sin (щ 01 t+ 01 ); 2 =Ф 2 sin (щ 02 t+ 02).
гдещ 01 , щ 02 , 01 , 02 - частоты собственных колебаний и начальные углы.
Так как колебания дисков относительно сечения А происходят с одинаковой частотой, то щ 01 = щ 02 = щ 0 и 01 = 02 = 0 . Продифференцировав два раза последние уравнения и подставив значение второй производной угла закручивания в уравнение упругих моментов получим
или Ф 1 *J 1 = - Ф 2 *J 2 .
Знак "-" показывает, что угловые амплитуды направлены при крутильных колебаниях в противоположные стороны. Из уравнения видно, что угловая амплитуда диска с большим моментом инерции меньше.
Аналогично можно получить зависимость положения узла колебаний - сечения А от моментов инерции дисков
или l 1 *J 1 = l 2 *J 2 .
Уравнение показывает, что узел колебаний находится ближе к тому диску, момент инерции которого больше. При бесконечно большом моменте инерции одного диска возникает частный случай - заделка вала в массивную стенку. Узел колебаний находится в месте заделки.
Угловая частота щ 0 , рад/с, собственных крутильных колебаний двухмассовой системы без учета сопротивления опор
Частота собственных крутильных колебаний двухмассовой системы без учета сопротивления опор f 0 , Гц
f 0 = щ 0 / (2р).
Частота собственных крутильных колебаний растет при уменьшении длины и увеличении диаметра вала, а также при уменьшении момента инерции любого диска.
Вынужденные колебания возбуждаются внешними периодически изменяющимися силами. Особенно опасными являются резонансные колебания, возникающие при совпадении собственной частоты и частоты внешних сил.
В расчетах силовых установок с поршневыми двигателями учитывают нижеследующие внешние возбудители .
Моменты от сил давления газов в цилиндрах двигателя или компрессора (главные возбудители крутильных колебаний)
где радиус кривошипа; тангенциальная сила, направленная перпендикулярно кривошипу, для одного цилиндра, отнесенного к единице площади поршня; площадь поршня.
Гармонические составляющие силы могут быть определены по справочные данным, приведенным на рис. 10 и 11 (при можно экстраполировать данные, продолжив кривые прямыми).
Гармоники тангенциальных сил 3-го порядка и выше для четырехтактного бензинового двигателя могут быть определены по формуле
где среднее индикаторное значение давления, степень сжатия двигателя; порядок гармоники (начиная с 3-й и выше).
Для гармоник порядков можно пользоваться следующими данными:
Здесь и в формуле (17) значения представляют собой гармоники тангенциальных газовых сил на единицу площади поршия одного цилиндра.
Для определения амплитудного значения гармонической силы, приложенной к колену вала, в случае действия на него многих цилиидров векторно складывают гармоники газовых сил всех цилиндров в предположении постоянства значений для всех цилиндров.
Если колено воспринимает силу от нескольких цилиндров, то при сложении моментов следует принять во внимание сдвиг по времени между кривыми тангенциальной силы от этих цилиндров, соответствующий интервалу между вспышками.
В табл. 4 приведены справочные данные для звездообразных двигателей с разным числом цилиндров.
Моменты от сил инерции движущихся масс кривошипно-шатунного механизма (следует учитывать только при определении гармоник низших порядков - от 1-й
где масса поступательно движущихся частей кривошипно-шатунного механизма одною цилиндра; - угловая скорость вала; отношение радиуса кривошипа к длине шатуна.
4. Гармоники крутящего момента в от среднего крутящего момента однорядного звездообразного двигателя (с учетом сил инерции)
(см. скан)
Моменты от сил тяжести кривошипно-шатунного механизма имеют малую величину и учитываются только для тяжелых тихоходных двигателей. Эги моменты слагаются из крутящего момента, вызываемого силой тяжести поступательно движущейся части (поршневой комплект и часть шатуна)
и крутящего момента, вызываемого силами тяжести вращающейся части кривошипно-шатунного механизма (часть шатуна, цапфа и щеки колена),
Суммарный возбуждающий крутящий момент любого порядка, определяется векторным сложением с учетом фаз гармонических моментов от газовых и инерционных сил данного порядка, действующих на кривошип цилиндра двигателя. Моментами от сил тяжести пренебрегают из-за их малости.
В табл. 5 приведены величины фазовых углов, необходимых для сложения гармоник газовых и инерционных моментов.
5. Величины фазовых углов сил и
(см. скан)
Если возмущающий крутящий момент порядка, приложенный к первому кривошипу, а угол между первым и кривошипом то гармонический момент, приложенный к кривошипу, Величина векторной суммы амплитуд крутящих момешов определяет развитие колебаний вала.
Зубчатые колеса редукторов могут быть возбудителями крутильных колебаний из-за погрешностей при их изготовлении. Частота крутильных возмущений зависит от числа зубьев делительного колеса станка, на котором обрабатывается колесо. Число зубьев соответствует числу волн ошибки на колесе. Следовательно, частота возмущения
Число оборотов зубчатого колеса.
Максимальная частота крутильных колебаний
где число зубьев зубчатого колеса.
Кроме того, могут иметь место низкочастотные составляющие спектра крутильных колебаний от накопленных погрешностей окружного шага. Частота этих колебаний где
Интенсивность крутильных колебаний зависит от точности изготовления колес и сборки редуктора.
Если динамический крутящий момент превысит средний, то будет двусторонний удар зубьев. Амплитуда таких колебаний не может быть определена расчетом. Схематизация зубчатых передач приведена в работе .
Вынужденные нерезонансные колебания возникают при условии Амплитуды их, как правило, малы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний для массы имеет вид
Решения линейных дифференциальных уравнений типа (20) общеизвестны . Для упрощения расчета разветвленную систему превращают в цепочную, используя метод приведения масс приведены данные для двухмассной системы - пренебрежение трением вне интервала частот ±10% резонансной частоты при логарифмическом декременте колебании и вне интервала ±20% при приводит к ошибкам в вычислении упругого момента на 10%.
2. При малом трении в системе форма резонансных колебаний близка к форме свободных колебаний на резонирующей собственной частоте. Если трение велико, отличие может быть существенным (см. пространстренное изображение формы колебаний на рис. 13), особенно в случаях, когда демпфирующие элементы расположены на массах с большими относительными амплитудами. В этом случае максимумы амплитуд колебаний разных масс достигаются на различных частотах внешних сил и на частотах, меньших собственных частот системы.
3. При изменении трения в каком-либо месте системы в широких пределах все резонансные кривые проходят через узкие области изменения частот и амплитуд.
4. Если к некоторой массе системы присоединен контур, на который не действуют внешние моменты (инертная часть системы), то амплитуда ее колебаний имеет
минимумы на частотах, равных собственным частотам этого контура при условии заделки указанной массы. Такое явление называется эффектом линейного антивибратора.
Приближенный расчет нелинейных вынужденных колебаний. В настоящее время имеются алгоритмы расчетов на ЭВМ, конкурирующие с расчетами на АВМ. Если заранее известно, что в искомом решении основную роль играют одна или две гармоники, то приближенное решение может быть получено методом Галеркинэ. Результаты при гармоническом приближении полностью совпадают с результатами, полученными методом гармонической линеаризации. Последовательность расчета соответствует приведенной ниже схеме:
1) задают вид искомого решения на нелинейном участке
где частота колебаний более высокой гармоники; целое число;
2) раскладывают упругий момент после подстановки (24) в ряд Фурье на периоде и удерживают только первую и гармоники:
Графический способ решения этой задачи описан в работе }
