Как мы уже не раз видели, для того чтобы тело двигалось по окружности, необходимо, чтобы сила, приложенная к
нему, была направлена к центру окружности. Если на тело действует несколько сил, то к центру окружности должна быть направлена равнодействующая этих сил.
В качестве примера рассмотрим движение железнодорожного вагона на закруглении горизонтального пути (рис. 144).
Пока поезд движется по прямолинейному участку пути с постоянной скоростью на любой вагон, конечно, действует сила тяжести, но она уравновешивается направленной вверх силой упругости рельсов. Что же касается силы трения, то она уравновешивается силой тяги локомотива. Но вот вагон дошел до закругления пути. В этом месте он повернет и начнет двигаться по дуге окружности. Какая же сила заставляет вагон изменять свою скорость по направлению, т. е. двигаться с ускорением? Этой силой является сила упругости (сила реакции), действующая на колеса вагона со стороны рельса.
Колеса железнодорожных вагонов имеют так называемую реборду, соприкасающуюся с рельсами не сверху, а сбоку (рис. 145). Пока вагон движется по прямолинейному участку пути, реборда особой роли не играет и деформируется лишь та часть колеса, которая прилегает к рельсу сверху. Пройдя точку А (рис. 146), колесо, продолжая свое движение в прежнем направлении, действует на рельс ребордой и деформирует его сбоку-рельс выгибается наружу (деформируется, конечно, и сама реборда). При этом возникает сила упругости направленная перпендикулярно боковой поверхности рельса.
Эта сила и заставляет вагон двигаться по окружности. Если бы колеса вагона не имели реборд, такая сила не могла бы возникнуть и вагон непременно сошел бы с рельсов.
Ускорение вагона, движущегося со скоростью по закруглению радиусом равно . Поэтому сила упругости
действующая на реборду и вызывающая это ускорение, по второму закону Ньютона должна быть равна:
где - масса вагона.
Деформация рельса из-за действия реборд достигает как раз такой величины, при которой сила упругости вызванная этой деформацией, сообщает вагону ускорение Деформация эта очень мала и на глаз незаметна.
Часто для уменьшения сил давления на боковые поверхности реборды и рельса и, стало быть, уменьшения их износа полотно железной дороги на закруглениях делают слегка наклонным в сторону центра закругления (рис. 147). В этом случае сила, направленная к центру, возникает также из-за того, что равнодействующая силы тяжести и силы упругости (реакции рельсов) перпендикулярной верхним поверхностям рельсов, тоже направлена к центру. Это, конечно, «облегчает» поворот в том смысле, что уменьшается сила упругости действующая со стороны рельса на реборду. Действительно, теперь то же центростремительное ускорение вагону сообщают две силы: и поэтому
Отсюда видно, что сила, действующая на реборду, теперь стала меньше на величину Поэтому меньшим будет износ рельса и реборды.
Рассмотрим еще, как движется на закруглении пути велосипедист. В этом случае поворот обеспечивается совместным действием силы реакции (силы упругости) со стороны дороги, силы трения и силы тяжести велосипедиста (вместе с велосипедом). Чтобы равнодействующая сила была направлена к центру, велосипедист наклоняется в сторону поворота (рис. 148. На рисунке Так как в вертикальном направлении велосипедист не перемещается, то Это означает, что равнодействующая всех сил, действующих на велосипедиста, равна силе трения Умелый велосипедист инстинктивно наклоняется ровно настолько, чтобы равнодействующая сила (в данном случае сила трения покоя была равна Излишний или недостаточный наклон приведет к тому, что поворот не удастся и велосипедист упадет:
Наклоняются в сторону поворота мотоциклисты, всадники, конькобежцы и т. д.
Упражнение 38
1. Почему спринтер, велосипедист и конькобежец при большой скорости движения наклоняются при повороте?
2. Равнодействующая каких сил сообщает центростремительное ускорение железнодорожному вагону, проходящему закругление пути?
3. Какая сила сообщает вагону центростремительное ускорение при отсутствии наклона полотна дороги?
4. Поезд движется по закруглению радиусом 500 м. Ширина железнодорожной колеи 1 524 мм. Наружный рельс расположен на 12 см выше внутреннего. При какой скорости движения поезда на закруглении реборды колес не оказывают давления на рельсы?
5. Конькобежец движется по закруглению ледяной дорожки радиусом 10 м со скоростью 5 м/сек. Под каким углом к горизонту он наклоняется, проходя этот поворот? (См. таблицу на стр. 124.)
Асламазов Л.Г. Движение по окружности // Квант. - 1972. - № 9. - С. 51-57.
По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»
Для описания движения по окружности наряду с линейной скоростью вводят понятие угловой скорости. Если точка при движении по окружности за время Δt описывает дугу, угловая мера которой Δφ, то угловая скорость .
Угловая скорость ω связана с линейной скоростью υ соотношением υ = ω·r , где r - радиус окружности, по которой движется точка (рис. 1). Понятие угловой скорости особенно удобно для описания вращения твердого тела вокруг оси. Хотя линейные скорости у точек, находящихся на разном расстоянии от оси, будут неодинаковыми, их угловые скорости будут равны, и можно говорить об угловой скорости вращения тела в целом.
Задача 1 . Диск радиуса r катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра диска постоянная и равна υ п. С какой угловой скоростью при этом вращается диск?
Каждая точка диска участвует в двух движениях - в поступательном движении со скоростью υ п вместе с центром диска и во вращательном движении вокруг центра с некоторой угловой скоростью ω.
Для нахождения ω воспользуемся отсутствием проскальзывания, то есть тем, что в каждый момент времени скорость точки диска, соприкасающейся с плоскостью, равна нулю. Это означает, что для точки А (рис. 2) скорость поступательного движения υ п равна по величине и противоположна по направлению линейной скорости вращательного движения υ вр = ω·r . Отсюда сразу получаем .
Задача 2. Найти скорости точек В , С и D того же диска (рис. 3).
Рассмотрим вначале точку В
. Линейная скорость ее вращательного движения направлена вертикально вверх и равна 
, то есть по величине равна скорости поступательного движения, которая, однако, направлена горизонтально. Складывая векторно эти две скорости, находим, что результирующая скорость υ B
по величине равна и образует угол 45º с горизонтом. У точки С
скорости вращательного и поступательного движения направлены в одну сторону. Результирующая скорость υ C
равна 2υ п и направлена горизонтально. Аналогично находится и скорость точки D
(см. рис. 3).
Даже в том случае, когда скорость точки, движущейся по окружности, не меняется по величине, точка имеет некоторое ускорение, так как меняется направление вектора скорости. Это ускорение называется центростремительным . Оно направлено к центру окружности и равно (R - радиус окружности, ω и υ - угловая и линейная скорости точки).
Если же скорость точки, движущейся по окружности, меняется не только по направлению, но и по величине, то наряду с центростремительным ускорением существует и так называемое тангенциальное ускорение. Оно направлено по касательной к окружности и равно отношению (Δυ - изменение величины скорости за время Δt ).
Задача 3. Найти ускорения точек А , В , С и D диска радиуса r , катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра диска постоянна и равна υ п (рис. 3).
В системе координат, связанной с центром диска, диск вращается с угловой скоростью ω, а плоскость движется поступательно со скоростью υ п. Проскальзывание между диском и плоскостью отсутствует, следовательно, . Скорость поступательного движения υ п не меняется, поэтому угловая скорость вращения диска постоянная и точки диска имеют только центростремительное ускорение , направленное к центру диска. Так как система координат движется без ускорения (с постоянной скоростью υ п), то в неподвижной системе координат ускорения точек диска будут теми же.
Перейдем теперь к задачам на динамику вращательного движения. Вначале рассмотрим простейший случай, когда движение по окружности происходит с постоянной скоростью. Так как ускорение тела при этом направлено к центру, то и векторная сумма всех сил, приложенных к телу, должна быть тоже направлена к центру, и по II закону Ньютона .
Следует помнить, что в правую часть этого уравнения входят только реальные силы, действующие на данное тело со стороны других тел. Никакой центростремительной силы при движении по окружности не возникает. Этим термином пользуются просто для обозначения равнодействующей сил, приложенных к телу, движущемуся по окружности. Что касается центробежной силы , то она возникает только при описании движения по окружности в неинерциальной (вращающейся) системе координат. Мы пользоваться здесь понятием центростремительной и центробежной силы вообще не будем.
Задача 4 . Определить наименьший радиус закругления дороги, которое автомобиль может пройти при скорости υ = 70 км/ч и коэффициенте трения шин о дорогу k =0,3.
Р = m·g , сила реакции дороги N и сила трения F тp между шинами автомобиля и дорогой. Силы Р и N направлены вертикально и равны по величине: P = N . Сила трения, препятствующая проскальзыванию («заносу») автомобиля, направлена к центру поворота и сообщает центростремительное ускорение: . Максимальное значение силы трения F тр max = k ·N = k ·m·g , поэтому минимальное значение радиуса окружности, по которой еще возможно движение со скоростью υ, определяется из уравнения . Отсюда (м).
Сила реакции дороги N при движении автомобиля по окружности не проходит через центр тяжести автомобиля. Это связано с тем, что ее момент относительно центра тяжести должен компенсировать момент силы трения, стремящийся опрокинуть автомобиль. Величина силы трения тем больше, чем больше скорость автомобиля . При некотором значении скорости момент силы трения превысит момент силы реакции и автомобиль опрокинется.
Задача 5 . При какой скорости автомобиль, движущийся по дуге окружности радиуса R = 130 м, может опрокинуться? Центр тяжести автомобиля находится на высоте h = 1 м над дорогой, ширина следа автомобиля l = 1,5 м (рис. 4).
В момент опрокидывания автомобиля как сила реакции дороги N , так и сила трения F тp приложены к «внешнему» колесу. При движении автомобиля по окружности со скоростью υ на него действует сила трения . Эта сила создает момент относительно центра тяжести автомобиля . Максимальный момент силы реакции дороги N = m·g относительно центра тяжести равен (в момент опрокидывания сила реакции проходит через внешнее колесо). Приравнивая эти моменты, найдем уравнение для максимальной скорости, при которой автомобиль еще не опрокинется:
Откуда ≈ 30 м/с ≈ 110 км/ч.
Чтобы автомобиль мог двигаться с такой скоростью, необходим коэффициент трения (см. предыдущую задачу).
Аналогичная ситуация возникает при повороте мотоцикла или велосипеда. Сила трения, создающая центростремительное ускорение, имеет момент относительно центра тяжести, стремящийся опрокинуть мотоцикл. Поэтому для компенсации этого момента моментом силы реакции дороги мотоциклист наклоняется в сторону поворота (рис. 5).
Задача 6 . Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью υ = 70 км/ч, делая поворот радиусом R = 100 м. На какой угол α к горизонту он должен при этом наклониться, чтобы не упасть?
Сила трения между мотоциклом и дорогой , так как она сообщает мотоциклисту центростремительное ускорение. Сила реакции дороги N = m·g . Условие равенства моментов силы трения и силы реакции относительно центра тяжести дает уравнение: F тp ·l ·sin α = N ·l ·cos α, где l - расстояние ОА от центра тяжести до следа мотоцикла (см. рис. 5).
Подставляя сюда значения F
тp и N
, находим что или 
. Отметим, что равнодействующая сил N
и F
тp при этом угле наклона мотоцикла проходит через центр тяжести, что и обеспечивает равенство нулю суммарного момента сил N
и F
тp .
Для того, чтобы увеличить скорость движения по закруглению дороги, участок дороги на повороте делают наклонным. При этом в создании центростремительного ускорения, кроме силы трения, участвует и сила реакции дороги.
Задача 7 . С какой максимальной скоростью υ может двигаться автомобиль по наклонному треку с углом наклона α при радиусе закругления R и коэффициенте трения шин о дорогу k ?
На автомобиль действуют сила тяжести m·g , сила реакции N , направленная перпендикулярно плоскости трека, и сила трения F тp , направленная вдоль трека (рис. 6).
Так как нас не интересуют в данном случае моменты сил, действующих на автомобиль, мы нарисовали все силы приложенными к центру тяжести автомобиля. Векторная сумма всех сил должна быть направлена к центру окружности, по которой движется автомобиль, и сообщать ему центростремительное ускорение. Поэтому сумма проекций сил на направление к центру (горизонтальное направление) равна , то есть
Сумма проекций всех сил на вертикальное направление равна нулю:
N ·cos α – m·g – F т p ·sin α = 0.
Подставляя в эти уравнения максимальное возможное значение силы трения F
тp = k·N
и исключая силу N
, находим максимальную скорость 
, с которой еще возможно движение по такому треку. Это выражение всегда больше значения , соответствующего горизонтальной дороге.
Разобравшись с динамикой поворота, перейдем к задачам на вращательное движение в вертикальной плоскости.
Задача 8 . Автомобиль массы m = 1,5 т движется со скоростью υ = 70 км/ч по дороге, показанной на рисунке 7. Участки дороги АВ и ВС можно считать дугами окружностей радиуса R = 200 м, касающимися друг друга в точке В . Определить силу давления автомобиля на дорогу в точках А и С . Как меняется сила давления при прохождении автомобилем точки В ?
В точке А
на автомобиль действуют сила тяжести Р
= m·g
и сила реакции дороги N A
. Векторная сумма этих сил должна быть направлена к центру окружности, то есть вертикально вниз, и создавать центростремительное ускорение: , откуда 
(Н). Сила давления автомобиля на дорогу равна по величине и противоположна по направлению силе реакции. В точке С
векторная сумма сил направлена вертикально вверх: и 
(Н). Таким образом, в точке А
сила давления меньше силы тяжести, а в точке С
- больше.
В точке В
автомобиль переходит с выпуклого участка дороги на вогнутый (или наоборот). При движении по выпуклому участку проекция силы тяжести на направление к центру должна превышать силу реакции дороги N B
1 , причем 
. При движении по вогнутому участку дороги, наоборот, сила реакции дороги N В
2 превосходит проекцию силы тяжести: 
.
Из этих уравнений получаем, что при прохождении точки В сила давления автомобиля на дорогу меняется скачком на величину ≈ 6·10 3 Н. Разумеется, такие ударные нагрузки действуют разрушающе как на автомобиль, так и на дорогу. Поэтому дороги и мосты всегда стараются делать так, чтобы их кривизна менялась плавно.
При движении автомобиля по окружности с постоянной скоростью сумма проекций всех сил на направление, касательное к окружности, должна быть равна нулю. В нашем случае касательная составляющая силы тяжести уравновешивается силой трения между колесами автомобиля и дорогой.
Величина силы трения регулируется вращательным моментом, прикладываемым к колесам со стороны мотора. Этот момент стремится вызвать проскальзывание колес относительно дороги. Поэтому возникает сила трения, препятствующая проскальзыванию и пропорциональная приложенному моменту. Максимальное значение силы трения равно k·N , где k - коэффициент трения между шинами автомобиля и дорогой, N - сила давления на дорогу. При движении автомобиля вниз сила трения играет роль тормозящей силы, а при движении вверх, наоборот, роль силы тяги.
Задача 9 . Автомобиль массой m = 0,5 т, движущийся со скоростью υ = 200 км/ч, совершает «мертвую петлю» радиуса R = 100 м (рис. 8). Определить силу давления автомобиля на дорогу в верхней точке петли А ; в точке В , радиус-вектор которой составляет угол α = 30º с вертикалью; в точке С , в которой скорость автомобиля направлена вертикально. Возможно ли движение автомобиля по петле с такой постоянной скоростью при коэффициенте трения шин о дорогу k = 0,5?
В верхней точке петли сила тяжести и сила реакции дороги N A
направлены вертикально вниз. Сумма этих сил создает центростремительное ускорение: 
. Поэтому 
Н.
Сила давления автомобиля на дорогу равна по величине и противоположна по направлению силе N А .
В точке В
центростремительное ускорение создается суммой силы реакции и проекции силы тяжести на направление к центру: 
. Отсюда 
Н.
Легко видеть, что N B > N A ; с увеличением угла α сила реакции дороги увеличивается.
В точке С
сила реакции 
Н; центростремительное ускорение в этой точке создается только силой реакции, а сила тяжести направлена по касательной. При движении по нижней части петли сила реакции будет превышать и максимальное значение 
Н сила реакции имеет в точке D
. Значение 
, таким образом, является минимальным значением силы реакции.
Скорость автомобиля будет постоянной, если касательная составляющая силы тяжести не превышает максимальной силы трения k·N
во всех точках петли. Это условие заведомо выполняется, если минимальное значение 
превосходит максимальное значение касательной составляющей силы веса. В нашем случае это максимальное значение равно m·g
(оно достигается в точке С
), и условие выполняется при k
= 0,5, υ = 200 км/ч, R
= 100 м.
Таким образом, в нашем случае движение автомобиля по «мертвой петле» с постоянной скоростью возможно.
Рассмотрим теперь движение автомобиля по «мертвой петле» с выключенным мотором. Как уже отмечалось, обычно момент силы трения противодействует моменту, приложенному к колесам со стороны мотора. При движении автомобиля с выключенным мотором этого момента нет, и силой трения между колесами автомобиля и дорогой можно пренебречь.
Скорость автомобиля уже не будет постоянной - касательная составляющая силы тяжести замедляет или ускоряет движение автомобиля по «мертвой петле». Центростремительное ускорение тоже будет меняться. Создается оно, как обычно, равнодействующей силы реакции дороги и проекции силы тяжести на направление к центру петли.
Задача 10 . Какую наименьшую скорость должен иметь автомобиль в нижней точке петли D (см. рис. 8) для того, чтобы совершить ее с выключенным мотором? Чему будет равна при этом сила давления автомобиля на дорогу в точке В ? Радиус петли R = 100 м, масса автомобиля m = 0,5 т.
Посмотрим, какую минимальную скорость может иметь автомобиль в верхней точке петли А , чтобы продолжать двигаться по окружности?
Центростремительное ускорение в этой точке дороги создается суммой силы тяжести и силы реакции дороги 
. Чем меньшую скорость имеет автомобиль, тем меньшая возникает сила реакции N A
. При значении эта сила обращается в нуль. При меньшей скорости сила тяжести превысит значение, необходимое для создания центростремительного ускорения, и автомобиль оторвется от дороги. При скорости сила реакции дороги обращается в нуль только в верхней точке петли. В самом деле, скорость автомобиля на других участках петли будет большей, и как легко видеть из решения предыдущей задачи, сила реакции дороги тоже будет большей, чем в точке А
. Поэтому, если автомобиль в верхней точке петли имеет скорость , то он нигде не оторвется от петли.
Теперь определим, какую скорость должен иметь автомобиль в нижней точке петли D , чтобы в верхней точке петли А его скорость . Для нахождения скорости υ D можно воспользоваться законом сохранения энергии, как если бы автомобиль двигался только под действием силы тяжести. Дело в том, что сила реакции дороги в каждый момент направлена перпендикулярно перемещению автомобиля, а, следовательно, ее работа равна нулю (напомним, что работа ΔA = F ·Δs ·cos α, где α - угол между силой F и направлением перемещения Δs ). Силой трения между колесами автомобиля и дорогой при движении с выключенным мотором можно пренебречь. Поэтому сумма потенциальной и кинетической энергии автомобиля при движении с выключенным мотором не меняется.
Приравняем значения энергии автомобиля в точках А и D . При этом будем отсчитывать высоту от уровня точки D , то есть потенциальную энергию автомобиля в этой точке будем считать равной нулю. Тогда получаем
Подставляя сюда значение для искомой скорости υ D , находим: ≈ 70 м/с ≈ 260 км/ч.
Если автомобиль въедет в петлю с такой скоростью, то он сможет совершить ее с выключенным мотором.
Определим теперь, с какой силой при этом автомобиль будет давить на дорогу в точке В . Скорость автомобиля в точке В опять легко находится из закона сохранения энергии:
Подставляя сюда значение , находим, что скорость 
.
Воспользовавшись решением предыдущей задачи, по заданной скорости находим силу давления в точке B :
Аналогично можно найти силу давления в любой другой точке «мертвой петли».
Упражнения
1. Найти угловую скорость искусственного спутника Земли, вращающегося по круговой орбите с периодом обращения Т = 88 мин. Найти линейную скорость движения этого спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии R = 200 км от поверхности Земли.
2. Диск радиуса R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся со скоростями υ 1 и υ 2 . Определить угловую скорость вращения диска и скорость его центра. Проскальзывание отсутствует.
3. Диск катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Показать, что концы векторов скоростей точек вертикального диаметра находятся на одной прямой.
4. Самолет движется по окружности с постоянной горизонтальной скоростью υ = 700 км/час. Определить радиус R этой окружности, если корпус самолета наклонен на угол α = 5°.
5. Груз массы m = 100 г, подвешенный на нити длины l = 1 м, равномерно вращается по кругу в горизонтальной плоскости. Найти период обращения груза, если при его вращении нить отклонена по вертикали на угол α = 30°. Определить также натяжение нити.
6. Автомобиль движется со скоростью υ = 80 км/ч по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса R = 10 м по горизонтальному кругу. При каком минимальном коэффициенте трения между шинами автомобиля и поверхностью цилиндра это возможно?
7. Груз массой m подвешен на нерастяжимой нити, максимально возможное натяжение которой равно 1,5m·g . На какой максимальный угол α можно отклонить нить от вертикали, чтобы при дальнейшем движении груза нить не оборвалась? Чему будет равно при этом натяжение нити в тот момент, когда нить составит угол α/2 с вертикалью?
Ответы
I. Угловая скорость искусственного спутника Земли ≈ 0,071 рад/с. Линейная скорость спутника υ = ω·R . где R - радиус орбиты. Подставляя сюда R = R 3 + h , где R 3 ≈ 6400 км, находим υ ≈ 467 км/с.
2. Здесь возможны два случая (рис. 1). Если угловая скорость диска ω, а скорость его центра υ, то скорости точек, соприкасающихся с рейками, будут соответственно равны
в случае a) υ 1 = υ + ω·R , υ 2 = υ – ω·R ;
в случае б) υ 1 = υ + ω·R , υ 2 = ω·R – υ.
(Мы приняли для определенности, что υ 1 > υ 2). Решая эти системы, находим:
а)
б) 
3. Скорость любой точки М , лежащей на отрезке ОВ (см. рис. 2), находится по формуле υ M = υ + ω·r M , где r M - расстояние от точки М до центра диска О . Для любой точки N , принадлежащей отрезку ОА , имеем: υ N = υ – ω·r N , где r N - расстояние от точки N до центра. Обозначим через ρ расстояние от любой точки диаметра ВА до точки А соприкосновения диска с плоскостью. Тогда очевидно, что r M = ρ – R и r N = R – ρ = –(ρ – R ). где R - радиус диска. Поэтому скорость любой точки на диаметре ВА находится по формуле: υ ρ = υ + ω·(ρ – R ). Так как диск катится без проскальзывания, то и для скорости υ ρ получаем υ ρ = ω·ρ. Отсюда следует, что концы векторов скоростей находятся на прямой, выходящей из точки А и наклоненной к диаметру ВА под углом, пропорциональным угловой скорости вращения диска ω.
Доказанное утверждение позволяет нам сделать вывод, что сложное движение точек, находящихся на диаметре ВА , можно в каждый данный момент рассматривать как простое вращение вокруг неподвижной точки А с угловой скоростью ω, равной угловой скорости вращения вокруг центра диска. В самом деле, в каждый момент скорости этих точек направлены перпендикулярно диаметру ВА , а по величине равны произведению ω на расстояние до точки А .
Оказывается, что это утверждение справедливо для любой точки диска. Более того, оно является общим правилом. При любом движении твердого тела в каждый момент существует ось, вокруг которой тело просто вращается - мгновенная ось вращения.
4. На самолет действуют (см. рис. 3) сила тяжести Р = m·g и подъемная сила N , направленная перпендикулярно плоскости крыльев (так как самолет движется с постоянной скоростью, то сила тяги и сила лобового сопротивления воздуха уравновешивают друг друга). Равнодействующая сил Р
6. На автомобиль действуют (рис. 5) сила тяжести Р
= m·g
, сила реакции со стороны цилиндра N
и сила трения F
тp . Так как автомобиль движется по горизонтальному кругу, то силы Р
и F
тp уравновешивают друг друга, а сила N
создает центростремительное ускорение . Максимальное значение силы трения связано с силой реакции N
соотношением: F
тp = k·N
. В результате получаем систему уравнений: 
, из которой находится минимальное значение коэффициента трения
7. Груз будет двигаться по окружности радиуса l
(рис. 6). Центростремительное ускорение груза (υ - скорость груза) создается разностью величин силы натяжения нити Т
и проекции силы тяжести m·g
направление нити: 
. Поэтому 
, где β - угол, образуемый нитью с вертикалью. По мере того, как груз будет опускаться, его скорость будет расти, а угол β будет уменьшаться. Натяжение нити станет максимальным при угле β = 0 (в тот момент, когда нить будет вертикальной): 
. Максимальная скорость груза υ 0 находится по углу α, на который отклоняют нить, из закона сохранения энергии:
Используя это соотношение, для максимального значения натяжения нити получаем формулу: T m ax = m·g ·(3 – 2 cos α). По условию задачи T m ах = 2m·g . Приравнивая эти выражения, находим cos α = 0,5 и, следовательно, α = 60°.
Определим теперь натяжение нити при . Скорость груза в этот момент также находится из закона сохранения энергии:
Подставляя значение υ 1 в формулу для силы натяжения, находим:
Решение к задаче 3. Поворот автомобиля на горизонтальной дороге.
Если автомобиль на повороте движется по дуге окружности, значит, ускорение автомобиля направлено по горизонтали к центру окружности (рис. 15.2). Это ускорение обусловлено равнодействующей всех приложенных к автомобилю сил. Сила тяжести и сила нормальной реакции направлены вертикально и компенсируют друг друга. Откуда же берется горизонтальная сила, вызывающая горизонтально направленное ускорение
Этой силой является сила трения , действующая на колеса со стороны дороги, и направленная по горизонтали перпендикулярно скорости .
Какая это сила трения - покоя или скольжения ? Мы уже знаем, что при качении без проскальзывания нижняя точка колеса покоится относительно дороги (см. § 5. Примеры решения задач ). Значит, возникающая на повороте сила трения - это сила трения покоя - именно она вызывает центростремительное ускорение автомобиля при повороте. А для силы трения покоя, как мы уже знаем, должно выполняться неравенство Именно это неравенство и объясняет, как мы сейчас увидим, почему существует ограничение на величину скорости при повороте.
Изобразим все силы, действующие на автомобиль при повороте (рис. 15.3).
Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на оси координат. Совместим начало координат с положением автомобиля в данный момент, ось направим вертикально вверх, а ось - горизонтально вдоль радиуса к центру окружности. Мы получим систему из двух уравнений и одного неравенства:
Из второго уравнения следует, что Подставим это выражение для и выражение для из первого уравнения в неравенство. Мы получим: 
Отсюда и следует искомое неравенство для допустимой скорости на повороте:
В нашем случае, подставляя численные данные из условия, получаем, что скорость автомобиля на повороте не может превышать 
Как мы видим, скорость на повороте должна быть значительно меньше обычной скорости при движении по городу (около ), поэтому перед поворотом водитель всегда притормаживает.
При гололеде коэффициент трения между шинами и дорогой значительно уменьшается: он становится равным 0,2 вместо 0,5 на сухой дороге. Поэтому ограничение на скорость становится более строгим: подставляя в формулу 
получаем, что при гололеде скорость автомобиля на повороте не может превышать 
(скорость легкой пробежки).
Механика. 2014
Вокруг нас нет ни одного тела, на которое бы не действовали другие тела или, что то же самое, силы. Все тела, которые накладывают ограничения на движение рассматриваемого тела, в механике называются связями. Любая связь действует на изучаемое тело с некоторой силой, которая в механике называется реакцией связи . Почему реакцией? Потому что по третьему закону Ньютона не только связь действует на тело, но и тело действует на связь, вызывая в ней «ответную» силу – реакцию.
Колесо локомотива или вагона имеет важную деталь – реборду (франц. reborde – гребень, то есть выступающая часть обода колеса), которая нужна, чтобы вагон не сошёл с рельсов на повороте. В момент, когда колесо входит на закругление, оно продолжает движение в прежнем направлении, действуя на рельс сбоку ребордой, которая при этом деформируется. В результате возникает «боковая» сила упругости Fупр (см. рисунок). Эта сила и заставляет вагон поворачивать, то есть двигаться по рельсам окружности. В отсутствии реборды эта сила не возникала бы, и вагон сошёл бы с рельсов.
Именно сила упругости реборды вызывает центростремительное ускорение вагона. Но наряду с силой упругости реборды, возникает и сила трения реборды о рельс. При движении по прямой этого касания нет, и сила трения уравновешивается силой тяги локомотива или предыдущего вагона.
Однако при повороте вагона трение реборд о рельс есть. Оно замедляет движение, а также приводит к повышенному износу (стриранию) как реборд колёс, так и рельсов на закруглённом участке траектории. Чтобы уменьшить нежелательную силу трения, надо уменьшить силу давления на боковые поверхности реборд и рельсов. Для этого насыпь грунта и гравия под рельсами делают наклонной в сторону центра окружности (см. рисунок).
Тогда «боковая» сила упругости с учётом наклона полотна дороги будет вычисляться по формуле:
В этой формуле: m – масса вагона, v – скорость поезда, R – радиус закругления рельсов, a – угол наклона насыпи под рельсами дороги. Формула показывает, что действующая на реборду сила уменьшается по сравнению с прямым участком дороги (выделено скобками). Значит, износ реборд и рельсов тоже уменьшается.
Например, на маршруте Санкт-Петербург – Хельсинки поезд «Аллегро» развивает скорость до 220 километров в час. Чтобы не терять её при движении на поворотах, вагоны «Аллегро» могут отклоняться от вертикали в сторону закругления полотна дороги на угол до 10 градусов. Это достигается разноуровневым положением рельсов пути (см. фото).
(C) 2012. Некрасов Александр Григорьевич (г. Санкт-Петербург)
1624. Что означает выражение «машину занесло на повороте»? Почему это происходит?
1625. Почему при быстрой езде по кругу мотоциклист сильно наклоняется к центру круга?
1626. При повороте в воздухе самолет опускает вниз то крыло, в какую сторону поворачивает. Корабль при повороте в воде опускает вниз борт, противоположный стороне поворота. Почему?
1627. Почему наездники в цирке свободно держатся на том боку седла, который обращен к центру арены, а на противоположном боку седла им удержаться гораздо труднее?
1628. При вращении шарика на резинке, резинка растягивается, причем тем сильнее, чем быстрее вращается шарик. Почему резинка растягивается?
1629. Велосипедист, двигаясь на большой скорости, может преодолеть чертово колесо (рис. 220). Почему велосипедист не падает в верхней точке петли?
1630. Кубик массой 0,4 кг положили на грампластинку на расстоянии 0,2 м от ее центра (рис. 221). При вращении пластинки линейная скорость кубика равна 0,2 м/с. Каково ускорение кубика? Какая сила удерживает кубик на пластинке и чему она равна?
1631. Мотоцикл проходит поворот радиусом 20 м. Коэффициент трения между колесами и землей равен 0,7. С какой наибольшей скоростью может двигаться мотоцикл, чтобы не возникло заноса?
1632. Во время дождя коэффициент трения между колесами мотоцикла и землей уменьшается до 0,1. Решите предыдущую задачу для дождливой погоды. Во сколько раз найденная вами скорость мотоцикла из предыдущей задачи будет меньше во время дождя?
1633. Определите центростремительную силу, действующую на вагон метро массой 16 т, когда он движется со скоростью 8 м/с по закруглению радиусом 80 м.
1634. Постройте траекторию движения тела, брошенного горизонтально со скоростью 30 м/сек с высоты 80 м. Определите, на каком расстоянии от места бросания тело упадет на землю и скорость его в момент удара о землю. Сопротивление воздуха не учитывать. Принять g = 10 м/сек2.
1635. С мачты парохода с высоты 10 м над палубой уронили мяч. Скорость парохода 18 км/час. На сколько успеет переместиться пароход за время падения мяча? Где упадет мяч? Какова траектория движения мяча по отношению к поверхности моря? Какова скорость мяча в момент удара о палубу?
1636. На краю стола лежит кусочек мела. Мелу сообщили горизонтальный толчок по направлению, перпендикулярному к классной доске. След от удара мела о доску лежит на 20 см ниже поверхности стола. Расстояние доски от края стола 1 м. Определите начальную скорость мела.
1637. С какой скоростью надо бросить тело в горизонтальном направлении с высоты 20 м, чтобы скорость его в момент падения на землю была 25 м/сек?
(Указание. Решите эту задачу на основании закона сохранения энергии.)
1638. Грузовик массой 5000 кг движется со скоростью 28,8 км/ч по выпуклому мосту с радиусом кривизны 0,04 км. С какой силой давит грузовик на середину моста? С какой скоростью он должен ехать, чтобы не оказывать давления на верхнюю точку моста?
1639. Тепловоз массой 15 т движется по вогнутому мосту с радиусом кривизны 0,05 км. Сила давления тепловоза на середину моста равна 149,5 кН. Какова скорость тепловоза?
1640. Автофургон идет по закруглению радиусом 200 м со скоростью 72 км/ч. При этом внутри фургона производится взвешивание на пружинных весах груза массой 49 кг. Определите показания пружинных весов.
1641. Самолет делает «мертвую петлю» радиусом 0,245 км в вертикальной плоскости. При какой наименьшей скорости самолета в верхней части петли летчик не будет отрываться от кресла?
1642. Самолет, летящий со скоростью 360 км/ч, описывает в вертикальной плоскости «петлю Нестерова» радиусом 0,2 км. Во сколько раз сила, прижимающая летчика к сиденью в нижней точке петли, больше его веса?
1643. Самолет, летящий со скоростью 540 км/ч, описывает в вертикальной плоскости «мертвую петлю» радиусом 500 м. Во сколько раз сила, прижимающая летчика к сиденью, в нижней точке петли больше силы, прижимающей летчика к сиденью, в верхней точке петли?
1644. Коленчатый вал двигателя делает 3600 об/мин. Найдите угловую скорость и период вращения коленчатого вала.
1645. Винт вертолета вращается с частотой 1500 об/мин. Скорость полета вертолета 72 км/ч. Сколько оборотов сделает винт на пути 120 км?
1646. Определите угол поворота Земли вокруг собственной оси за 120 мин.
1647. Коленчатый вал радиусом 2 см делает два оборота за ОД с. Какова частота вращения вала? Найдите угловую и линейную скорости точек поверхности вала.
1648. Самолет летит на широте Санкт-Петербурга (60°). Его пассажиры и экипаж видят, что за окнами иллюминаторов все время светло, ночь не наступает. В каком направлении и с какой скоростью летит самолет? (Радиус Земли 6400 км.)
1649. Вал радиусом 10 см с прикрепленной к нему нитью начал равномерно вращаться. Через 5 с на него намоталось 15 м нити. Найти период, частоту и угловую скорость вращения вала.
1650. Диаметр точильного камня равен 0,3 м. Линейная скорость точек на его рабочей поверхности равна 10 м/с. Определите угловую скорость, частоту и период вращения точильного камня. Сколько оборотов он сделает за 1,5 мин? На какой угол он повернется за это же время?
1651. Шкив радиусом 50 см делает 110 об/мин. Определите период вращения и линейную скорость точек, лежащих на окружности шкива. Какой путь пройдет одна из этих точек за 2 мин?
1652. Капля краски на ободе колеса, имеющего диаметр 20 см движется с линейной скоростью 628 см/с. Сколько оборотов шкив делает за минуту?
1653. Для качественной шлифовки поверхность наждачного круга не должна иметь линейную скорость более 50 м/с. На шлифовальной машине такой круг диаметром в 200 мм делает 3000 оборотов в минуту. Допустима ли такая скорость?
1654. Шлифовальный круг радиусом 30 см равномерно вращается вокруг оси в его центре О (рис. 222). Линейная скорость точки А на круге равна 3,5 м/с. Определите линейную скорость точки Б, расположенной на расстоянии 5 см от оси вращения.
1655. Укажите направление ускорения движущегося тела в положениях А и В, показанных на рисунке 223.
1656. На рисунке 224 показана рука, вращающая камень, привязанный к веревке. Укажите, какие силы действуют на камень, на веревку, на руку, и изобразите их векторами. Если в положении, показанном на рисунке, веревка оборвется, то как будет двигаться камень?
1657. На прибор, состоящий из стержня, по которому могут скользить два шарика: масса одного в 2 раза больше массы другого. Оба шарика связаны нитью так, что центры тяжести их расположены друг от друга на расстоянии 12 см. Весь прибор приводится во вращение вокруг вертикальной оси. Рассчитайте, на каком расстоянии от оси вращения должны быть расположены шарики, чтобы при вращении прибора они оставались на месте, не скользили по стержню.
1658. Если на веревке привязать маленькое ведерко с водой, то можно это ведерко вращать по кругу и вода из него не выльется. Изготовьте ведерко из жестяной банки и проделайте такой опыт. Постарайтесь объяснить его.
1659. Радиус окружности, по которой движется конец секундной стрелки, 0,8 см, минутной - 2 см, часовой - 1,5 см. Найдите линейные и угловые скорости стрелок.
1660. Ведущее колесо паровоза диаметром 1,6 м делает 120 оборотов в минуту. С какой скоростью движется паровоз?
1661. Найдите линейную и угловую скорости точки земной поверхности на широте Москвы при суточном вращении Земли вокруг оси. Считать радиус Земли равным 6400 км.
1662. Во сколько раз линейная скорость конца минутной стрелки больше линейной скорости конца часовой стрелки, если минутная стрелка в 1,2 раза длиннее часовой?
1663. Колесо катится без проскальзывания со скоростью 5 м/с. Найдите скорости точек А, В, С, D, Е (рис. 226) относительно Земли. Расстояние от точки Е до центра колеса равно половине радиуса.
1667. Масса планеты Марс составляет 0,11 массы Земли. Во сколько раз первая космическая скорость для Марса меньше, чем для Земли, если его радиус равен 0,53 радиуса Земли?
1668. Космический корабль удалился от поверхности Земли на расстояние, равное радиусу Земли. Какую скорость он должен развить, чтобы вращаться по окружности вокруг Земли?
1669. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите вокруг Земли на высоте, равной 4000 км над поверхностью Земли. Найдите его скорость и период обращения.
1672. Искусственный спутник движется в плоскости земного экватора и с Земли кажется неподвижным. Какова скорость спутника? Найдите расстояние от спутника до центра Земли.
